python求代数值方法（Python数学编程第四章）
python求代数值方法?目前为止，我们程序中的数学问题和揭发都与数字运算有关不过，数学的教学、学习和实践中还有另外一种方式，那就是用符号和符号之间的运算来表示例如典型的代数问题中的x和y，我们将这类数字称为符号数学（Symbolic math）想想当时令人头疼的因式分解（例如，分解别担心在本章，我们会学习如何编写解决这些问题的程序我们将使用一个Sympy（一个Python库），他能够让你编写包含符号的代数表达式并对其执行操作由于Sympy是第三方库，因此在使用他之前，需要先安装它，现在小编就来说说关于python求代数值方法?下面内容希望能帮助到你，我们来一起看看吧!
python求代数值方法
目前为止，我们程序中的数学问题和揭发都与数字运算有关。不过，数学的教学、学习和实践中还有另外一种方式，那就是用符号和符号之间的运算来表示。例如典型的代数问题中的x和y，我们将这类数字称为符号数学（Symbolic math）。想想当时令人头疼的因式分解（例如，分解。别担心在本章，我们会学习如何编写解决这些问题的程序。我们将使用一个Sympy（一个Python库），他能够让你编写包含符号的代数表达式并对其执行操作。由于Sympy是第三方库，因此在使用他之前，需要先安装它。
第一节 定义符号和符号运算符号是构成符号数学的基础。符号是方程式和代数表达式中x、y、a和b的通用名称。这里创建和使用符号的方式与以前不同。看如下语句：
>>> x= 1
>>> x x 1
3
在这里，我们创建了一个标签x来指代数字1，然后使用语句x x 1来执行计算，结果是3，可是我们希望输出的结果是包含x的，也就是2x 1。此时也不能直接把x=1去掉，这样的话Python就不知道x指代的是什么。
SymPy可以让我们编写类似的包含符号的代数表达式并执行计算。要在程序中使用符号，首先要创建一个Symbol对象，如下所示：
>>> from sympy import Symbol
>>> x = Symnbol('x')
首先从SymPy库导入Symbol类。然后创建一个Symbol对象，使用标签x来指代它，'x'作为参数传递。请注意：这个参数是以字符串形式传递的。现在我们就可以用这个符号来定义表达式和方程。例如，下面是前面的表达式：
>>> from sympy import Symbol
>>> x = Symnbol('x')
>>> x x 1
2*x 1
可以看到，下的结果是包含x的输出。在语句x = Symbol('x')中，左侧的x和之前的标签一样，相当于是一个名字，只是起一个指代作用，用来指代右边的字符串为'x'的Symbol对象。此处需要注意：左边的x和右边的x含义要注意区分，用左边的x来指代x的Symbol对象，当然此处也可以使用a，b等标签来指代x的Symbol对象。
但是，通常是使用相匹配的标签，不然的话容易令人困惑。
为了再次便于理解，看如下程序，对于任何Symbol对象，它的name属性是他所代表的使肌肤好的一个字符串，也就是说，通过name属性我们可以知道它指代的是什么字符串。
>>> x = Symbol('x')
>>> x.name
'x'
>>> a = Symbol('x')
>>> a.name
'x'
再次强调，需要传入字符串参数，作为代数表达式的符号，即不能使用如下语句：x = Symbol(x)，必须使用x = Symbol('x')。
定义多个符号，可以像刚刚那样单独重复多次定义，也可以使用symbols()函数来更见简洁的定义它们。假如在一个程序中需要使用x、y和z三个符号，你可以像这样定义它：
>>> x = Symbol('x')
>>> y = Symbol('y')
>>> z = Symbol('z')
这与之前的方法相同，或者进行如下定义：
>>> from sympy import symbols
>>> x, y, z = symbols('x, y, z')
可见这种方式更加简洁，首先从SymPy库导入symbols()函数。然后将想要创建的符号作为一个字符串传入，各符号之间使用逗号隔开。执行此语句后，x、y和z三个标签分别就指代三个符号对象'x'、'y'和'z'。
完成定义后，我们就可以对它进行基本的数学运算，例如第一章学到的加减乘除和幂运算等等。例如，以下演示：
>>> from sympy import symbols
>>> x, y = symbols('x, y')
>>> s = x*y x*y
>>> s
2*x*y
我们来看看是否能够得到x(x x)的乘积
>>> p = x*(x x)
>>> p
2*x**2
SymPy会自动对这些简单的加法和乘法进行计算，但是如果我们输入一个更加复杂一点的表达式，表达式将保持不变。让我们来看看当我们输入表达式(x 2) * (x 3)时会发生什么情况：
>>> p = (x 2) * (x 3)
>>> p
(x 2) * (x 3)
你可能很期待SymPy将所有内容相乘并输出x**2 5*x 6，然而，表达式这是输出了原有形式。SymPy只进行简单的表达式计算，对于更复杂的表达式，SymPy将简化操作留给了程序员。如果你希望得到展开式，必须使用expand()函数，稍后我们将看到该函数。
第二节 使用表达式4.2.1 分解和展开表达式factor()函数分解表达式，而expand()函数展开表达式，将表达式表示为单个项的总和。我们使用基本代数恒等式x^2-y^2 = (x y)(x-y)来检验这些函数。当时的左边为展开版本右边为相应的分解式。因为等式中有两个符号，一次我们需要创建两个符号对象：
>>> from sympy import symbols
>>> x, y = symbols('x, y')
接下来，我们导入factor()函数，用它将展开式(等式左边)转换分解为分解式(等式右边)：
>>> from sympy import factor
>>> expr = x**2 - y**2
>>> factor(expr)
(x - y)*(x y)
根预期一样，我们对展开式分解因式，得到了方解式，现在我们对其进行逆运算，将其展开：
>>> from sympy import expand
>>> factors = factor(expr)
>>> expand(factors)
x**2 - y**2
我们使用一个标签factors来指代方解式，将其作为参数传入expand()函数，进行展开，得到最初的表达式，尝试一下更复杂的等式:
>>> expr = x**3 3*x**2*y 3*x*y**2 y**3
>>> factors = factor(expr)
(x y)**3
>>> expand(factors)
x**3 3*x**2*y 3*x*y**2 y**3
对于无法分解的表达式，factor()函数会返回原表达式，例如：
>>> expr = x y x*y
>>> factor(expr)
x y x*y
同样，如果表达式无法通过expand()展开，它将返回原表达式。
4.2.2 使表达式整齐输出如果希望所处理的表达式在输出时看起来整齐一些，可以使用pprint()函数，这个函数将以更接近于我们通常看到的形式来输出表达式，例如：
>>> expr = x*x 2*x*y y*y
如果我们使用之前的输出方法print()函数，输出结果为原表达式：
>>> expr
x*x 2*x*y y*y
现在我们使用pprint()函数来进行输出，并与之前的输出作比较，如下所示：
>>> from sympy import pprint
>>> pprint(expr)
2 2
x 2*x*y y
这种形式的输出可能有点傻，但是却更容易看清楚。比如我们再看看一个表达式：
>>> expr = 1 2*x 2*x**2
>>> pprint(expr)
2
2*x 2*x 1
这些项按照x的幂顺序排列，由高到低。如果你希望得到相反的顺序，即x的最高次幂在最后面，可以使用init_printing()函数，如下所示：
>>> from sympy import init_printing
>>> init_printing(order='rev-lex')
>>> pprint(expr)
2
1 2*x 2*x
导入init_printing()函数，使用关键字order='rev-lex'调用。这表明，我们需要SymPy以相反顺序输出表达式。这种情况下，关键字告诉Python收i谢娜输出低阶幂项。
注：我们这里使用init_printing()函数来配置表达式的输出顺序，但是此函数还有更多的方法来配置表达式的输出形式。关于SymPy中输出的更多选项和使用方式，请参阅Printing — SymPy 1.10.1 documentation[https://docs.sympy.org/latest/tutorial/printing.html]上的文档。
4.2.3 输出级数
考虑以下级数：
编写一个程序，让用户输入一个数字n（项数），然后输出这个项数的级数。在级数中，x是一个符号，n是用户输入的众数。该级数的第n项由下式给出：
我们可以使用下面的程序输出这个级数：
'''
Print the series:
'''
from sympy import Symbol, pprint, init_printing, symbols
from fractions import Fraction
def print_series(n):
init_printing(order='rev-lex')
x = Symbol('x')
expr = x
for i in range(2, n 1):
expr = x**i/i
pprint(expr)
if __name__ == '__main__':
n = int(input('Enter the umber of terms you want in the series: '))
print_series(n)
print_series()函数接受一个指定的级数n作为参数，并且注意需要将传入的n转为整数传入。然后调用init_printing()函数以阶数从小到大输出。
创建expr指代我们的级数，从2开始至n 1结束（此处也可从1开始，但是expr=0）进行迭代，然后对expr累加赋值，具体结果如下：
i = 2, series = x x**2 / 2
i = 3, series = x x**2 / 2 x**3 / 3
级数的值由x开始，但在每一次的迭代中，x**i/i会被累加到expr中，直到传入的n为止。最后执行程序：
Enter the umber of terms you want in the series: 5
2 3 4 5
x x x x
x ── ── ── ──
2 3 4 5
尝试指定不同的n来运行程序。接下来，我们将学习如何计算当x为某个值时这个级数的和。
4.2.4 用值替代符号下面我们学习使用Sympy把具体的值带入到表达式中，这样就可以用变量的特定值来计算表达式的值。考虑表达式，定义如下：
>>> from sympy import symbols
>>> x, y = symbols('x, y')
>>> x*x x*y x*y y*y
x**2 2*x*y y**2
如果要计算这一表达式，可以使用subs()函数将值代入：
>>> expr = x*x x*y x*y y*y
>>> res = expr.subs({x:1, y:2})
首先创建了一个标签expr来指代我们的表达式，然后调用subs()函数，该函数的参数是一个字典（dictionary）,其中包含两个符号标签以及要填换的具体数值。结果如下：
>>> res
9
你也可以使用一个符号来表示了一个符号，并使用subs()函数进行相应的替换。例如，如果已知x = 1 - y，计算上述表达式：
>>> res = expr.subs({x:1-y})
>>> res
2 2
(1 - y) 2*y*(1 - y) y
我们发现这个结果并不是最简结果，还可以继续简化，我们使用SymPy的simplify()函数，如下：
>>> expr_subs = expr.subs({x:1-y})
>>> from sympy import simplify
>>> simplify(expr_subs)
1
其中，某些项相互抵消了，计算结果为1。
虽然在前面例子中有过表达式的简化形式，但你必须要求SymPy 使用simplify() 函数来简化这个表达式。再次强调，在没有明确指定时，SymPy 不会对表达式进行 简化。 simplify()函数可以简化复杂的表达式，如那些包括对数和三角函数的函数，但是我们不会在这里讨论这些内容。 计算级数的值 让我们回忆一下级数输出的程序。除了输出级数以外，我们希望对于一个特定的值x，程序能够计算出级数的值。因此，程序将从用户那里得到两个参数：级数的项数和计算序列值的x的值。然后，程序将输出级数和级数总和。下面的程序扩展了级数输出程序，以包括上述增加的功能:
'''
Print the series:
'''
from sympy import Symbol, pprint, init_printing, symbols
from fractions import Fraction
def print_series(n, x_value):
init_printing(order='rev-lex')
x = Symbol('x')
expr = x
for i in range(2, n 1):
expr = x ** i / i
pprint(expr)
res = expr.subs({x:x_value})
print('res = {0}'.format(res))
if __name__ == '__main__':
n = int(input('Enter the umber of terms you want in the series: '))
x_value = float(input('Enter the value of x at which you want to evaluate the series: '))
print_series(n, x_value)
现在，就需要额外传入一个参数x来计算级数的和，将其保存在标签x_value中调用print_series()函数。
执行程序：
Enter the umber of terms you want in the series: 5
Enter the value of x at which you want to evaluate the series: 1.2
2 3 4 5
x x x x
x ── ── ── ──
2 3 4 5
res = 3.51206400000000
4.2.5 将字符串转为数学表达式
到目前为止，我们每次都出于具体目的写出表达式。但是，如果希望编写一个更通用的程序，要求这个程序可以处理用户提供的任何表达式该怎么办呢？为此，我们需要一种方法， 将用户的输入(字符串)转换为可以执行数学运算的内容。SymPy的sympify0函数能帮助我们做到这一点， 该函数可以将字符串转换为SymPy对象，以方便应用SymPy的函数。让我们看一个例子:
>>> from sympy import sympify
>>> expr = input('Enter a mathmatical experssion: ')
Enter a mathmatical experssion: x**2 3*x x**3 2*x
>>> expr = sympify(expr)
首先导入simpify()函数，然后使用input()函数得到一个数学表达式，并将表达式作为输入，使用exper来指代它。下一步，我们以expr作为参数调用simpify()函数，并使用相同的标签来指代转换后的表达式。
可以对转换后的表达式做各种运算，尝试将表达式乘以2：
>>> 2*expr
2 3
10*x 2*x 2*x
那么用户提供无效表达式时会发生什么？看下面的例子：
>>> expr = input('Enter a mathmatical experssion: ')
Enter a mathmatical experssion: x**2 3*x x**3 2x
>>> expr = sympify(expr)
During handling of the above exception, another exception occurred:
Traceback (most recent call last):
File "
由错误内容可知，sympify()不能转换输入的表达式。因为用户没有在x与2之间输入运算符，所以SymPy不明白这是什么意思。程序应该预计到此类无效输入，并再出现错误信息时输出错误提示，下面就要用到第一章提到的异常捕获了：
>>> from sympy import sympify
>>> from sympy.core.sympify import SympifyError
>>> expr = input('Enter a mathmatical experssion: ')
>>> try:
expr = sympify(expr)
except SympifyError:
print('Invalid input')
Invalid input
就是简单的导入SympifyError异常类并且在try...except模块中调用simpify()函数。如果出现SympifyError异常就会输出一条错误信息。
4.2.6 表达式乘法让我们运用刚刚学到的sumpify()函数编写一个程序来计算两个表达式的乘积：
'''
Product of two expressions
'''
from sympy import expand, factor, sympify
from sympy.core.sympify import SympifyError
def product(expr1, expr2):
prod = expand(expr1 * expr2)
print(prod)
if __name__ == '__main__':
expr1 = input('Enter the first expression : ')
expr2 = input('Enter the second expression : ')
try:
expr1 = sympify(expr1)
expr2 = sympify(expr2)
except SympifyError:
print('Invalid input')
else:
product(expr1, expr2)
询问用户输入两个表达式，然后再try...except模块中调用sympify()函数将字符串表达式转为表达式对象。如果转换成功（else）调用product()函数计算两表达式乘积并输出结果。注意：使用expand()函数输出乘积结果，该结果用其所有项的和来表示。
运行程序：
Enter the first expression : x**2 x*2 x
Enter the second expression : x**3 x*3 x
x**5 3*x**4 4*x**3 12*x**2
当然，我们也可以输入包含多个符号的表达式作为参数：
Enter the first expression : x*y x
Enter the second expression : x*x y
x**3*y x**3 x*y**2 x*y
,